布方伯爵（Georges-Louis Leclerc, Comte de Buffon）是勃艮第的地方貴族，他年少時就有發展學術的雄心。布方的興趣在於純數學，他加入皇家科學院時列出的專長就是數學。

布方提出的一篇論文，很巧妙的把幾何與機率這兩種原來認為毫不相關的領域拉在一起。研究主題不是行星的力學，或強國經濟那種了不起的問題，而是微不足道的『投方磚』遊戲。

布方研究的是：錢幣整個落進一塊方磚的機率是多少？方磚需要多大才對兩造賭者公平？

下面是布方解決問題的方法。假設錢幣的半徑是r，方磚的邊長是L，那麼錢幣會壓到縫隙的條件是，圓心落在一個較小的正方形裡，那個正方形的邊長是L - 2r：

小正方形的面積是（L - 2r）²，而原來大方形的面積是L²。所以如果你賭錢幣會完全落入方磚內部，你贏的機會是（L - 2r）² / L²。要讓賭局公平，你贏的機會必須等於1/2，意思是說

（L - 2r）² / L² = 1/2

「投方磚」在方磚邊長是錢幣半徑的4 + 2√2倍時，是公平的遊戲。

這個問題的解決在概念上頗有趣，因為結合機率推理與幾何圖形是新鮮作法。

不過解法並不困難，布方知道這不足以讓他進入皇家學院，於是他繼續向前推進：假如不是往空中投擲錢幣這種圓形的東西，而是投擲別種形狀的東西，例如方型的西班牙金幣或針、小棍子等，那就需要更多一點幾何了。

他講得有點輕描淡寫了，事實上布方的大名與投針問題在數學圈裡被相提並論到今天。讓我把它解釋得更詳細一些。

布方的投針問題：假設地面鋪了長條木板，而你有一根針，長度剛好等於木板寬度。把針投向地面，那麼針會與木板間縫隙交叉的機會有多大？

布方的針有一個漂亮又出人意表的答案：機率是2/π，也就是約略64%。為什麼π會出現？這裡又沒看到任何圓。

布方用很巧妙的論證算出結果，其中涉及到擺線（cycloid）底下的面積。計算這個面積需要使用一點微積分；今日數學系大二的學生都有能力處理，不過沒多大啟發性。

此外還有別的解法，是在布方進入科學院後，又過了一百年才由巴比耶（Joseph- Émile Barbier）發現的。

首先把布方的問題重新用期望值的術語講一遍。我們可以問：針會交叉過的縫隙數目，期望值是多少？布方想計算的機率p，是投下的針會與縫隙交叉的機率，因此會有1 – p的機率，針沒跟任何縫隙交叉。

然而，如果針會與縫隙交叉，它就恰與一條縫隙相交⁽¹⁾。交叉數目期望值的計算方法，跟一般計算期望值的方法相同：把每一種可能的交叉次數，乘以那個次數出現的機率，然後全體加總。

注①：你可能會說，既然針長等同板條寬，所以針也可能碰到兩個縫隙，但這要針恰好橫跨板條，這有可能，但發生的機率為零，所以可以忽略。

在目前的情形下，只有兩種可能的交叉數，0（發生的機率是1 - p）與1（發生的機率是p），所以

（1 - p）x 0 + P x 1 = p

交叉數的期望值就是簡單的p，也就是布方想算出來的數。

看起來好像沒有任何進展。讓我們從小處著手。我們把問題稍微問得廣泛些，如果針的長度是兩條木板的寬度，那麼針與縫隙交叉次數的期望值會是多少？看起來這個問題更複雜，因為投針的可能結果從兩種變三種。

針完全落入一條木板，或與一條縫隙交叉，或與兩條縫隙交叉。所以要想計算交叉次數的期望值，似乎應該計算三個不同事件分別的機率，而不僅僅是兩個事件。

我們在一根長針的中心畫一個點，再把兩半分別標以「針1」與「針2」，如下圖：

長針與縫隙交叉次數的期望值是，1號短針與縫隙交叉次數的期望值，加上2號短針與縫隙交叉次數的期望值。

用代數符號來表示，令X是1號短針通過縫隙的次數，Y是2號短針通過縫隙的次數，則長針通過縫隙的次數為X + Y。

然而每根短針的長度就是原來布方問題裡設定的長度，所以每根短針平均通過縫隙p次，也就是說E(X)與E(Y)都等於p。

那麼整根針與縫隙交叉數的期望值E(X + Y)，就會是E(X) + E(Y)，便等於p + p，即2p。

同樣推理也適用於針長是木板寬度的三倍、四倍或一百倍。假如針長為N（現在我們以木板的寬度為單位），則針與縫隙交叉次數的期望值就是Np。

長度為N的針與縫隙交叉次數的期望值 = Np

現在換個角度，我們把針折彎：

這根針是目前最長的針，長度是5。但它在兩處折成彎角，我把兩端靠攏產生一個三角形。三角形三邊長度分別為1、2、2，於是每段邊線的交叉次數，期望值分別為p、2p、2p。整根針的期望值 = p +2p + 2p = 5p

如果繼續折彎這根針：



最後的圖看起來像是直徑為1的圓，但它其實是由65,536根小針形成的正多邊形。

根據我們的折針規則，期望值會是Np，而N是多邊形的周長。周長是多少呢？它應該幾乎就等於圓周長，圓半徑是1/2，所以周長就是π。於是圓與縫隙交叉次數的期望值恰好是πp。

看起來我們好像是把問題越弄越抽象、越一般化，卻一直沒有對症下藥：到底p是多少？有沒有猜出來？我們其實已經算出它了。

不管圓落到哪裡，它都會與地板縫隙相交兩次。

所以交叉次數的期望值就是2，同時也等於πp，我們終於知道p = 2/π，正如布方給出的答案。

事實上，這種論證法適用於任何的針，不管它是有多少邊的多邊形，還是彎來彎去的曲線，交叉次數的期望值都等於Lp，此處L是以木板寬度為單位的針長。朝地板撒上一把義大利乾麵條，我也可以告訴你，該期望有多少麵條會與縫隙交叉。有數學家戲稱這個廣義的問題為布方的麵條問題。

巴比耶的證明讓我想起，代數幾何學家德利涅曾經這麼說他的老師格羅滕迪克（Alexander Grothendieck）：「過程裡好像什麼事都沒發生，然而到最後，就出現一個非常不簡單的定理。」

摘錄結束

有種突然就冒出結果的感覺，好像在變魔術一樣